Sur l'image je vois bien le 192.168.1.12. Et il a donc tapé ce qu'il fallait sur l'autre ordi

Le test semble donc concluant. Si tu ne peux pas ping un autre PC du même réseau, c'est que tu n'es pas sur le réseau.
Alors la Livebox fonctionne, mais elle ne donne pas d'accès réseau à l'ordi en Wi-Fi dont le net ne fonctionne pas.
Essaie un ipconfig à partir du pc qui déconne et mets la capture ici

(ne la mets pas aussi petite qu'on lise bien !)
Je pense qu'on devrait y voir plus clair.
Tu n'as pas un anti-virus ou un firewall ? Il est probable qu'ils bloquent l'accès au réseau.
Sinon, essaie de taper 192.168.1.1 dans la barre d'adresse sur le pc qui ne fonctionne pas. Tu devrais arriver sur la page de configuration de la Livebox. Essaie voir si déjà ça ça fonctionne !
-- Ven 22 Oct 2010 23:16 --
Tiens, en regardant ta dernière capture on s'aperçoit que le net fonctionne. Essaie de taper 66.249.92.104 dans ta barre d'adresse et vois si Google apparait. Dans ce cas, ce sont effectivement les DNS qui merdent.
Les DNS, ce sont des serveurs qui s'occupent en gros de transformer une adresse machintruc.fr en l'adresse IP du site. Si tu n'y as pas accès, alors le navigateur ne sait pas quoi faire de machintruc.fr (qui n'est qu'une redirection).
Par contre, pourquoi est-ce que les DNS déconneraient sur un seul ordi, et pas sur tous ceux du réseau ? Bigre !